Nein, meint das Bundesarbeitsgericht (BAG) in einer Entscheidung aus dem Jahr 2021 (BAG, Urt. v. 16.12.2021 – 8 AZR 498/20). In den Entscheidungsgründen heißt es:

„Ob der Klägerin, wie von § 74 Abs. 1 Halbs. 2 HGB verlangt, eine Originalurkunde des Arbeitsvertrags übergeben worden ist, ist für die Gültigkeit der Wettbewerbsabrede nicht von Belang. Insoweit handelt es sich nicht um eine Formvorschrift iSd. § 125 Satz 1 BGB, sondern um eine Dokumentationsregelung. Ist – wie hier – die für die Wettbewerbsabrede vorgeschriebene Schriftform gewahrt, hindert eine etwa unterbliebene Aushändigung der Urkunde den Arbeitnehmer nicht daran, sich auf das Wettbewerbsverbot zu berufen und bei dessen Einhaltung Karenzentschädigung zu verlangen (BAG 23. November 2004 – 9 AZR 595/03 – zu A I 1 a der Gründe, BAGE 112, 376).“